高考椭圆大题？三、利用向量解决椭圆问题 几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解。例4、最值问题 评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系。例5、那么，高考椭圆大题？一起来了解一下吧。
椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值．
解：方程变形为 ．因为焦点在 轴上，所以 ，解得 ．
又 ，所以 ， 适合．故 ．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在 轴上时，设其方程为 ．
由椭圆过点 ，知 ．又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 ．
当焦点在 轴上时，设其方程为 ．
由椭圆过点 ，知 ．又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为 ．
例3的底边 ， 和 两边上中线长之和为30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹．
分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解．
（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程．
解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系．设 点坐标为 ，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 ， ，有 ，
故其方程为 ．
（2）设 ， ，则 ．①
由题意有 代入①，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上两点）．
例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为 、 ，且 ， ．从椭圆定义知 ．即 ．
从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，
可求出 ， ，从而 ．
∴所求椭圆方程为 或 ．
例5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点， ， ．求： 的面积（用 、 、 表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积．
解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限．由余弦定理知：• ．①
由椭圆定义知： ②，则 得．
故 ．
例6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点，
即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，
即 ．∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： ．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，
求线段 中点 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则
①－②得 ．
由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，
将③④代入得 ．⑤
（1）将 ， 代入⑤，得 ，故所求直线方程为： ． ⑥
将⑥代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求．
（2）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（3）将 代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得： ，⑦，将③④平方并整理得
， ⑧，，⑨
将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩
再将 代入⑩式得：， 即 ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆 及直线 ．
（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．
解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得，
即 ． ，解得 ．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ．
根据弦长公式得： ．解得 ．方程为 ．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， ．
点 关于直线 的对称点 的坐标为（－9，6），直线 的方程为 ．
解方程组 得交点 的坐标为（－5，4）．此时 最小．
所求椭圆的长轴： ，∴ ，又 ，
∴ ．因此，所求椭圆的方程为 ．
例10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围．
解：由 得 ，且 ．
∴满足条件的 的取值范围是 ，且 ．
说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆．
例11 已知表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围．
分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围．
解：方程可化为 ．因为焦点在 轴上，所以 ．
因此 且 从而 ．
说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方．
(2)由焦点在 轴上，知 ， ． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 ．
例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为 ( ， )．由 和 两点在椭圆上可得
即 所以 ， ．故所求的椭圆方程为 ．
例13 知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，求线段中点 的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．
解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ．
因为 在圆 上，所以 ．
将 ， 代入方程 得 ．所以点 的轨迹是一个椭圆 ．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为 ，
设已知轨迹上的点的坐标为 ，然后根据题目要求，使 ， 与 ， 建立等式关系，
从而由这些等式关系求出 和 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 ， 的方程，
化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长．
分析：可以利用弦长公式 求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．因为 ， ，所以 ．因为焦点在 轴上，
所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 ．
由直线方程与椭圆方程联立得： ．设 ， 为方程两根，所以 ， ， ，从而 ．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， ．
在 中， ，即 ；
所以 ．同理在 中，用余弦定理得 ，所以 ．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐标．
再根据焦半径 ， ，从而求出 ．
例15椭圆 上的点 到焦点 的距离为2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为A．4B．2 C．8 D．
解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得 ，所以 ，
又因为 为 的中位线，所以 ，故答案为A．
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
例16 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1)直线 ；(2)弦 的中点 在 上．
利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围．
解：(法1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点．
∵ 的斜率 ，∴设直线 的方程为 ．由方程组 消去 得
①。
这道题应该很简单吧
由a，b可以得出c 即可得F点的坐标
根据PQ的倾斜角可求出PQ的方程
PQ方程与椭圆方程联立 由弦长公式即可算出
(I)设
直线，与联立得
由得
,
所以点P在C上。
（II）法一：
同理
所以互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…①
设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…②
由①②得、的交点为
,
,,
故.
所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.
（1）焦点弦=2b^2/a=1,e=c/a=√3/2
解得a=2,b=1
方程x^2/4+y^2=1
这个焦点弦公式记住，大大的好处。
（2）由题意设D（4，d）,C(4,4+d)
A(-2，0),B(2，0)
AC方程：y=(4+d)/6(x+2)
BD方程：y=d/2(x-2)
解得M((4d+4)/(d-2),d(d+4)/(d-2))
代入椭圆方程解得M(8/5,3/5)
也可设M(m,n)
AC方程y=n(x+2)/(m+2),yc=6n/(m+2)
BD方程y=n(x-2)/(m-2),yd=2n/(m-2)
6n/(m+2)-2n/(m-2)=4
m=4-4n
代入椭圆方程解得m=8/5,n=3/5
M（8/5,3/5）
(3)这符号太难打了。
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以上就是高考椭圆大题的全部内容，e=c/a=√3/3，即c²/a²=1/3，又a²=b²+c²，所以(a²-b²)/a²=1/3，求出a²=3。所以椭圆方程为x²/3+y²/2=1。（Ⅱ）由题意可设P(x₁，y₁)，M(x₁，y₂)。∣OP∣/∣OM∣=λ。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
