高中数学数列不动点法？当n很大时，an其实很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）构成不动点。于是原始转化为x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是数列an就是以A为公比的，那么，高中数学数列不动点法？一起来了解一下吧。
不动点法在求解数列通项公式时展现出其独特优势，其核心在于通过转化与构造，找到数列的“不动点”，即使得数列某项值等于其前一项值的特定项。本文将详细梳理不动点法求解数列通项公式的技巧，涵盖多种模型与实例。
一、不动点法的基础
不动点法的核心思想在于将递推公式转化为等差或等比数列的通项公式，或者通过待定系数法和逐步相减法求解。对于形如[公式]的递推公式，若其满足特定形式，则数列可以被转化为等差或等比数列。对于形如[公式]的递推公式，借助待定系数法和逐步相减法，通过构造新数列实现求解。
二、不动点法的应用模型
模型1：对于形如[公式]的递推公式，首先判断是否为等差或等比数列，然后采用待定系数法或逐步相减法求解。待定系数法中，寻找数列的不动点，即[公式]，从而构造新数列求解。逐步相减法则通过两式相减，得到新的数列，进而求解。
模型2：针对形如[公式]（其中[公式]）的递推公式，使用倒数法求解。通过取倒数构造新数列，分析其等差或等比性质，进而求解。对于满足特定条件的数列，采用不动点法求解，找到数列的不动点，从而简化求解过程。
模型3：对于形如[公式]的递推公式，通过求解特征方程[公式]找到数列的通项公式。其中，若特征方程的根为两个不等的实数，数列为等比数列；若根为一个实数，数列为等差数列；若根为复数，则数列可能为周期数列。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
我还是给几个具体的例子吧：
1。
数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分内容的证明过程：
设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。
然后进一步证明那个通项公式：
如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。
本文专为高中数学学生准备，旨在清晰解释数列的不动点法。数列与函数间的关系犹如台湾与中国的关系，不可分割。函数原理中，给定的数x经过映射后变为f(x)，这就像照镜子看到自己的后背，形象地称为“不动点”，意味着函数映射后结果与原数相同。
构造函数f(x)时，通过分解和提取公因式，可以发现不动点的性质，进一步帮助我们识别数列类型。例如，若存在不动点x，则数列为等比数列；若无不动点，则数列为等差数列。
数列求通项公式时，遇到特定结构如an = f(an-1)的类型，可以考虑使用不动点法。以类型1为例，即an = c*an-1 + d，通过寻找不动点，能判断数列的性质。若存在不动点，数列为等比数列；若不存在，则为等差数列。
在具体问题中，令an = c*an-1 + d，求解不动点，得到等比数列的通项公式an = ar^n + b。对于类型2的分式结构问题，通过变形后求解不动点，能确定数列的等比性质。若不动点存在一个或两个，则数列为等比或等差数列，具体情况需要根据题设条件来判断。
以上解释中，通过举例说明，直观展示了如何应用不动点法解决高中数学中的数列问题。这一方法既简洁又高效，是解决数列求通项问题的重要技巧之一。
高中数学数列特征根的原理是韦达定理：
对于形如a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)的式子，总是存在 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] ，化简得 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) ，即s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是特征根。
不动点法解通项公式的原理是极限思想：
对于形如a(n+1)=Aan+B的式子，
当n很大时，an其实很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）构成不动点。于是原始转化为x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),
即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是数列an就是以A为公比的，是首项a1-B/(1-A)的数列，于是就可以求出通项公式了。
楼主，原创思想啊，望采纳！！
以上就是高中数学数列不动点法的全部内容，递推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)特征方程的根称为该数列的不动点 这类递推式可转化为等差数列或等比数列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
