2009年高考数学试卷？2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。那么，2009年高考数学试卷？一起来了解一下吧。
2009年广东高考数学理科试题和答案(答案已更新)
2009-6-15 10:36:00
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 和 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个B. 2个
C. 1个D. 无穷多个
【解析】由 得 ，则 ，有2个，选B.
2. 设 是复数， 表示满足 的最小正整数 ，则对虚数单位 ，
A. 8 B. 6C. 4D. 2
【解析】，则最小正整数 为4，选C.
3. 若函数 是函数 的反函数，其图像经过点 ，则
A.B.C. D.
【解析】 ，代入 ，解得 ，所以，选B.
4.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
A.B.C. D.
【解析】由 得 ， ，则 ，，选C
5. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④
【解析】选D.
6. 一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为2和4，则 的大小为
A. 6 B. 2 C. D.
【解析】 ，所以 ，选D.
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种C. 18种D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 ；若小张、小赵都入选，则有选法 ，共有选法36种，选A
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 （如图2所示）．那么对于图中给定的 ，下列判断中一定正确的是
A. 在 时刻，甲车在乙车前面
B.时刻后，甲车在乙车后面
C. 在 时刻，两车的位置相同
D.时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线 比 在0～ 、0～ 与 轴所围成图形面积大，则在 、 时刻，甲车均在乙车前面，选A
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9 ~ 12题）
9. 随机抽取某产品 件，测得其长度分别为 ，则图3所示的程序框图输出的 ， 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
【解析】；平均数
10. 若平面向量 ， 满足 ， 平行于 轴， ，则
【解析】 或 ，则 或 .
11．巳知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 的方程为．
【解析】 ， ， ， ，则所求椭圆方程为 .
12．已知离散型随机变量 的分布列如右表．若 ， ，则， ．
【解析】由题知 ， ， ，解得 ， .
（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与直线 （ 为参数）垂直，则．
【解析】 ，得 .
14．（不等式选讲选做题）不等式 的实数解为 ．
【解析】且 .
15．（几何证明选讲选做题）如图4，点 是圆 上的点， 且 ，则圆 的面积等于 ．
【解析】解法一：连结 、 ，则 ，∵ ， ，∴ ，则 ；解法二： ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分12分）
已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
解：（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，则 ，∴.
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ， ， ， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图5.
（1）求直方图中 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
（结果用分数表示．已知 ， ，， ）
解：（1）由图可知，解得 ；
（2） ；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 .
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体 的棱长为2，点 是正方形 的中心，点 、 分别是棱 的中点．设点 分别是点 ， 在平面 内的正投影．
（1）求以 为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线 平面 ；
（3）求异面直线 所成角的正弦值.
解：（1）依题作点 、 在平面 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 、 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为
，
又 面 ， ，∴ .
（2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 ， ， ，则 ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
又 ，∴ 平面 .
（3） ， ，则 ，设异面直线 所成角为 ，则 .
19．（本小题满分14分）
已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．
（1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；
（2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值．
解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲线 上，
∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点 重合，则 ，即 ，∴中点 的轨迹方程为 （ ）.
（2）曲线 ，
即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径
由图可知，当 时，曲线 与点 有公共点；
当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到直线 的距离 ，得 ，则 的最小值为 .
20．（本小题满分14分）
已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 ．设 ．
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设( )，则 ；
又 的图像与直线 平行
，，
设 ，则
当且仅当 时， 取得最小值，即 取得最小值
当 时，解得
当 时，解得
（2）由 ( )，得
当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；
当 时，方程 有二解 ，
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
当 时，方程 有一解 ,,
函数 有一零点
综上，当 时, 函数 有一零点 ；
当 ( )，或 （ ）时，
函数 有两个零点 ；
当 时，函数 有一零点 .
21．（本小题满分14分）
已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
解：（1）设直线 ： ，联立 得 ，则 ，∴ （ 舍去）
，即 ，∴
（2）证明：∵
∴
由于 ，可令函数 ，则 ，令 ，得 ，给定区间 ，则有 ，则函数 在 上单调递减，∴ ，即 在 恒成立，又 ，
则有 ，即
2009年辽宁省高考数学试题分析与评价
2009年高考，作为辽宁省实施新课程改革后的第一次高考，引起了广大中学数学教师的高度关注。从这份试卷中可以获得哪些信息？它对中学数学教学有哪些启示？对2010年的高考数学复习备考会产生怎样的影响？下面就此谈一些看法，希望能给广大同仁提供帮助。
1.试题总体概说
2009年辽宁高考数学试卷基本上贯彻了《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《辽宁省考试说明》确定的高考命题的指导思想和命题的原则与考试要求，文理试卷融入了新课程改革的理念，较好的体现了“平稳中重基础，朴实中显特色”的命题思路，真正实现了新课程改革下的高考试卷与传统高考试卷的平稳过度。文科与理科全卷布局结构合理，试题立足基础、突出主干、能力立意。命题中正视了文理科考生的差异，合理地设计了文理试卷的难度系数，试后初步估计文科试卷难度系数0.6左右,理科难度系数0.5左右。两张试卷很好地体现试题的信度、坡度、效度、区分度，有利于社会的和谐与稳定，有利于高校选拔人才,有利于中学实施素质教育，有利于培养学生的创新精神与实践能力。它为2010年高考的数学复习指明了方向，为推动高中新课程的数学教学改革，发挥了良好的导向作用。
2009年浙江高考文科数学试题和答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设， ， ，则 （ ）
A．B．C． D．
1． B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．
【解析】 对于 ，因此．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2． A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．
【解析】对于“ ” “ ”；反之不一定成立，因此“ ”是“ ”的充分而不必要条件．
3．设 （ 是虚数单位），则（ ）
A．B． C．D．
3．D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．
【解析】对于
4．设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ，则
4．C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．
【解析】对于A、B、D均可能出现 ，而对于C是正确的．
5．已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则 （ ）
A．B． C． D．
5．D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
【解析】不妨设 ，则 ，对于 ，则有 ；又 ，则有 ，则有
6．已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭圆上，且 轴， 直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是（ ）
A．B． C． D．
6．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．
【解析】对于椭圆，因为 ，则
7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ ）
A．B．
C．D．
7．A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用，通过对程序语言的考查，充分体现了数学程序语言中循环语言的关键．
【解析】对于 ，而对于 ，则 ，后面是 ，不符合条件时输出的 ．
8．若函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， 在 上是增函数
B． ， 在 上是减函数
C． ， 是偶函数
D． ， 是奇函数
8．C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．
【解析】对于 时有 是一个偶函数
9．已知三角形的三边长分别为 ，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为（ ）
A．B．C．D．
9．C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识，全面而不失灵活，考查的方法上面的要求平实而不失灵动，既有切线与圆的位置，也有圆的移动
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
10．已知 是实数，则函数 的图象不可能是（ ）
10．D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度．
【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为 ，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了 ．
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2009广东省高职数学试题
一、选择题（15*5=75分）
1、设集合 ，则 （A）
ABCD
2、已知 为实数，且 成等比数列，则 （C）
ABCD
3、已知函数 （ ，且 ， 是实数）的图像过点 与 ，则 的解析式是（B）
ABCD
4、下列向量中与向量 平行的是（A）
ABCD
5、函数 是（A）
A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数也是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数
6、已知集合 ，则 （C）
ABCD
7、设函数 在区间 内是减函数，则 、 、 的大小关系是（D）
ABCD
8、设 均为实数，则 是 的（C）
A 充分非必要条件B 必要条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件
9、已知直线 ，直线 ，则 与 （B）
A 相交不垂直B 相交且垂直C 平行不重合D 重合
10、双曲线 的焦距为（D）
ABCD
11、已知函数 （ 为实数）的图像以 为对称轴，则 的最小值为（B）
ABCD
12、设 ，如果 ，且 ，那么 的取值范围是（C）
ABCD
13、已知直线 与圆 交于两点 和 ， 是坐标原点，则 （B）
ABCD
14、设 为等差数列 的前 项和，且 ，则 （A）
ABCD
15、将函数 的图像按向量 平移得到的图像对应的一个函数解析式是（ D ）
A B C D
二、填空题（5*5=25分）
16、某服装专卖店今年5月推出一款服装，上市第1天售出20件，以后每天售出的件数都比前一天多五件，则上市的第7天售出这款服装的件数是_50__.
17、已知向量 ，则向量 的模 ___5__.
18、不等式 的解是 .
19、在 中，如果 的对边分别为 ，且满足等式 ，则.
20、已知 为实数，椭圆 的一个焦点为抛物线 的焦点，则 2.
三、解答题
21、（12分） 为锐角， ，（1）求 （2）求
解： 为锐角， ，所以 ，
时，
22、（12分）已知小王的移动电话按月结算话费，月话费 （元）与通话时间 （分钟）的关系可青示为函数
，其1月分通话费时间为460分钟，月话费为86元.
（1）求 的值.
（2）若小王2、3月的通话时间分别为300分钟、560分钟，求其2,3月份的移动电话费的总和.
解：（1）由 ，
得
解得 ，即
所以 .
（2）2月300分钟，话费为68元
3月560分钟，话费为 元
所以2,3月话费的总和为68+104=172元.
2010 年江苏高考数学试题 一、填空题 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2 +4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________ 3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__ 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 5、设函数f(x)=x(e x +ae -x ),x∈ R ，是偶函数，则实数a=_______▲_________ 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S←1 n←1 S←S+2 n S≥33 n←n+1 否 输出S 结束 是8、函数y=x 2 (x>0)的图像在点(a k ,a k 2 )处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1 ,k为正整数，a 1 =16，则a 1 +a 3 +a 5 =____▲_____ 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ 10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP 1 ⊥x轴于点P 1 ,直线PP 1 与y=sinx的图像交于点P 2 ,则线段P 1 P 2 的长为_______▲_____ 11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____ 12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是_____▲____ 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲ 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______ 二、解答题 15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足( )· =0，求t的值 16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=90 0 (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 A B O F 18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0,①设动点P满足 ,求点P的轨迹 ②设 ，求点T的坐标 ③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点 （其坐标与m无关）19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列. ①求数列 的通项公式（用 表示） ②设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。
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