全国数学高中联赛试题？我给上面的那位同学付个图，ABC分别代表，第一道，二，三题 a+b+c+d+e+f+g＝25,①b+f＝2(c+f),②a＝d+e+g+1,③a＝b+c.④②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧ 由于c≥0，那么，全国数学高中联赛试题？一起来了解一下吧。
全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点。
欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
3. 初等数论
同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
2拆开
b+f=2c+2f
b=2c+f
f=b-2c
把f带进1
a+b+c+d+e+(b-2c)+g=25
出来了
解：设解出一、二、三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个学生至少解出一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍，
故b+f=2（c+f）②
由于只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的学生的人数多1，故a=d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出第一题，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-⑦得：4b+c=26⑨
∵c≥0，∴4b≤26，b≤61/2．⑩
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
∵f≥0，∴9b≥52，b≥52/9.⑾
由⑩⑾得 52/9≤b≤61/2 即5又7/9≤b≤6又1/2，
∵b∈Z（b是学生人数，为整数），
∴b=6．即只解出第二题的学生有6人．
2010年全国高中数学联赛
一试
一、填空题（每小题8分，共64分，）
1. 函数 的值域是 .
2. 已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围是.
3. 双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .
4. 已知 是公差不为 的等差数列， 是等比数列，其中 ，且存在常数 使得对每一个正整数 都有 ，则.
5. 函数在区间 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.
7. 正三棱柱 的9条棱长都相等， 是 的中点，二面角 ,则.
8. 方程 满足 的正整数解（x,y,z）的个数是 .
二、解答题（本题满分56分）
9. （16分）已知函数 ，当 时， ，试求 的最大值.
10.（20分）已知抛物线 上的两个动点 ，其中 且 .线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 面积的最大值.
11.（20分）证明：方程 恰有一个实数根 ，且存在唯一的严格递增正整数数列 ，使得+……
加 试
1.（40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
2.（40分）设k是给定的正整数， ．记 ，．证明：存在正整数m，使得 为一个整数．这里， 表示不小于实数x的最小整数，例如： ， ．
3.（50分）给定整数 ，设正实数 满足 N+，记
3……．
求证：．
4.（50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
一试答案
1.提示：易知 的定义域是 ，且 在 上是增函数，从而可知 的值域为 .
2.提示：令 ，则原函数化为 ，即
.
由 ， ，及知即
. （1）
当 时（1）总成立；
对 ；对 .从而可知.
3.9800提示：由对称性知，只要先考虑 轴上方的情况，设 与双曲线右半支于 ,交直线 于 ，则线段 内部的整点的个数为 ，从而在 轴上方区域内部整点的个数为
.
又 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 .
4. 提示 ：设 的公差为 的公比为 ，则
（1）
， （2）
（1）代入（2）得 ，求得 .
从而有对一切正整数 都成立，即对一切正整数 都成立.
从而
，
求得， .
5.提示：令 则原函数化为 , 在 上是递增的.
当 时， ,
，
所以
；
当时， ，
，
所以
.
综上 在 上的最小值为 .
6.提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为 ，从而先投掷人的获胜概率为
.
7.提示：解法一：如图，以 所在直线为 轴，线段 中点 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则 ，从而， .
设分别与平面 、平面 垂直的向量是 、 ，则
由此可设，所以 ，即
.
所以.
解法二：如图，.
设 与 交于点则.
从而 平面.
过 在平面 上作 ,垂足为 .
连结 ,则 为二面角 的平面角.设 ,则易求得 .
在直角 中， ,即 .
又.
.
8.336675提示：首先易知 的正整数解的个数为.
把 满足 的正整数解分为三类：
（1） 均相等的正整数解的个数显然为1；
（2） 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设 两两均不相等的正整数解为 .
易知
，
所以
，
即
.
从而满足 的正整数解的个数为
.
9. 解法一： 由得
.
所以
，
所以 . 又易知当 （ 为常数）满足题设条件，所以 最大值为 .
解法二： .设 ，则当 时， .
设，则 .
.
容易知道当 时， . 从而当 时，， 即
，
从而, ，由知 .
又易知当 （ 为常数）满足题设条件，所以 最大值为 .
10. 解法一：设线段 的中点为 ，则，
.
线段 的垂直平分线的方程是
. （1）
易知 是（1）的一个解，所以线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点 坐标为 .
由（1）知直线 的方程为 ，即
.（2）
（2）代入 得 ，即
. （3）
依题意， 是方程（3）的两个实根，且 ，所以
,
.
.
定点 到线段 的距离
.
.
当且仅当 ，即 , 或 时等号成立.
所以， 面积的最大值为 .
解法二：同解法一，线段 的垂直平分线与 轴的交点 为定点，且点 坐标为 .
设 ，则 的绝对值,
,
所以 , 当且仅当 且 ，即 , 或
时等号成立.
所以， 面积的最大值是 .
11.令 ，则 ，所以 是严格递增的.又 ，故 有唯一实数根 .
所以，
.
故数列 是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列 和 满足
，
去掉上面等式两边相同的项，有
，
这里 ，所有的 与 都是不同的.
不妨设 ，则
，
，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加试答案
1.用反证法．若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ．
因为 P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）
，
同理
，
所以 ，
故 ⊥ ．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
．①
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
， ②
．③
由①，②，③可得 ，所以 ，故△DMN ∽ △DCB，于是 ，所以BC∥MN，故OK⊥BC，即K为BC的中点，矛盾！从而 四点共圆.
注1：“ P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）”的证明：延长PK至点F，使得
，④
则P，E，F，A四点共圆，故
，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
， ⑤
⑤-④，得
P的幂（关于⊙O） K的幂（关于⊙O）．
注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．
2.记 表示正整数n所含的2的幂次．则当 时， 为整数．
下面我们对用数学归纳法．
当 时，k为奇数， 为偶数，此时
为整数．
假设命题对 成立．
对于 ，设k的二进制表示具有形式
，
这里， 或者1， ．
于是
， ①
这里
.
显然 中所含的2的幂次为 ．故由归纳假设知， 经过f的v次迭代得到整数，由①知， 是一个整数，这就完成了归纳证明．
3.由 知，对 ，有 ．
注意到当 时，有 ，于是对 ，有
，
故
．
4.对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点 上的设置．为了使得最终回到 时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a的边有 条， ，标有b的边有 条， ．选取 条边标记a的有 种方法，在余下的边中取出 条边标记b的有 种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
． ①
这里我们约定 ．
当n为奇数时， ，此时
． ②
代入①式中，得
．
当n为偶数时，若 ，则②式仍然成立；若 ，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
．
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有 种；当n为偶数时有 种．
2010全国高中数学联赛
点评
10月17日结束的全国高中数学联赛满分300分，其中一试120分共11道试题80分钟，二试180分共4道试题150分钟。
【2009年联赛试题模式修改】
自2009年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：
一试
考试时间为当日上午8：00~9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分100分。其中填空题8道，每题7分；解答题3道，分别为14分、15分、15分。
（旧规则为时间100分钟，选择题6分/题×6道，填空题9分/题×6道，解答题20分/道×3道，共计150分。）
二试
考试时间为当日上午9：40~12：10，共150分钟。试题为四道解答题，每题50分，满分200分。包括平面几何，代数，数论，组合数学各一道。
（旧规则为时间120分钟，试题为3道解答题，每题50分，其中必有一道平面几何，另两道题从其余三项中任意出两道。）
考试范围
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
以上就是全国数学高中联赛试题的全部内容，2010全国高中数学联赛点评10月17日结束的全国高中数学联赛满分300分,其中一试120分共11道试题80分钟,二试180分共4道试题150分钟。总体来看,今年一试的小题难度基本与去年持平,而大题难度则略高于去年。二试的平几问题较难,与去年基本相同,而后面的三道大题难度与去年相比有明显的下降。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。
